Annexe C : Rendement théorique d’une éolienne

L’énergie cinétique du vent est donnée par : \[ E_c = \frac 12 m v^2 = \frac 12 \rho \times V \times v^2 \] où \(m\) est la masse d’air et \(v\) sa vitesse ; \(\rho = 1,2\ \text {kg}\cdot \text {m}^{-3}\) est la masse volumique de l’air et \(V\) le volume correspondant à la masse \(m\).

Cela suppose néanmoins que toute l’énergie de la masse d’air est prélevée par l’éolienne, et donc que la vitesse du vent est nulle derrière le rotor. Ce qui n’est pas possible pour la continuité de l’écoulement (conservation du flux de masse). Donc si la vitesse du vent est \(v_1\) en amont du rotor et \(v_2\) en aval, l’énergie cinétique prélevée vaut : \[ \Delta E_c = \frac 12 \rho \times V \times (v_2^2-v_1^2) \] La variation de puissance (cinétique) correspondante est : \[ \Delta P_c = \frac 12 \rho \times S \times \frac {L}{\Delta t} \times (v_2^2-v_1^2) \] où \(S\) est la surface balayée par les pales de l’éolienne et \(L\) est la longueur du cylindre d’air qui passe par le rotor pendant \(\Delta t\). Ce qui donne : \[ \Delta P_c = \frac 12 \rho \times S \times v_{\text {moy}} \times (v_2^2-v_1^2) \] où \(v_{\text {moy}} = L/\Delta t\) est la vitesse moyenne du vent au niveau du rotor.

Déterminons la puissance absorbée par le rotor. La variation \(\Delta \overrightarrow {p}\) de la quantité de mouvement de l’air avant et après le rotor est : \[ \Delta \overrightarrow {p} = m\times (\overrightarrow {v_1}-\overrightarrow {v_2}) \] Soit, d’après le principe fondamental de la dynamique, la force \(\overrightarrow {F}\) s’exerçant sur les pales du rotor, avec \(dm/dt = \rho \times S \times dL/dt = \rho \times S \times v_{\text {moy}}\) : \[ \frac {d\Delta \overrightarrow {p}}{dt} = \overrightarrow {F} = \rho \times S\times v_{\text {moy}} \times (\overrightarrow {v_1}-\overrightarrow {v_2}) \] Donc la puissance mécanique perdue par le vent est : \[ P_{\text {perdue}} = \overrightarrow {F}\cdot \overrightarrow {v_{\text {moy}}} = \rho \times S\times v_{\text {moy}}^2 \times (v_1-v_2) \] en supposant que toutes les vitesses sont colinéaires. Cette puissance est égale à la différence de puissance cinétique du vent avant et après le rotor : \[ P_{\text {perdue}} = P_c^{\text {avant}} - P_c^{\text {après}} = - \Delta P_c \] soit : \[\begin{split} \rho \times S\times v_{\text {moy}}^2 \times (v_1-v_2)\\ = -\frac 12 \rho \times S \times v_{\text {moy}} \times (v_2^2-v_1^2) \end{split}\] On en déduit l’expression de \(v_{\text {moy}}\) : \[ v_{\text {moy}} = \frac {v_2+v_1}{2} \]

La puissance absorbée par le rotor est égale à la puissance perdue par le vent : \[\begin{split} P_{\text {rotor}} = P_{\text {perdue}} = \rho \times S\times v_{\text {moy}}^2 \times (v_1-v_2)\\ = \rho \times S\times \frac {(v_1+v_2)^2}{4}\times (v_1-v_2) \end{split}\] Cette puissance est maximale quand sa dérivée par rapport à la vitesse du vent en aval (\(v_2\)) – qui est la variable ajustable, la vitesse incidente (\(v_1\)) étant imposée – s’annule, soit : \[ 2 (v_1+v_2) (v_1-v_2) - (v_1+v_2)^2 = 0 \] soit : \[ 2 (v_1-v_2) - (v_1+v_2) = 0 \] soit : \[ v_1 - 3 v_2 = 0 \] soit encore : \[ v_2 = \frac {v_1}{3} \]

La puissance maximale récupérable par le rotor est donc : \[ P_{\text {rotor}}^{\text {max}} = \rho \times S\times \frac 14 \left (\frac 43 v_1\right )^2 \times \frac 23 v_1 = \frac {8}{27} \rho \times S \times v_1^3 \]

La puissance cinétique incidente du vent est : \[ P_c^{\text {incidente}} = \frac 12 \rho \times S\times v_1^3 \] donc : \[ P_{\text {rotor}}^{\text {max}} = \frac {16}{27} P_c^{\text {incidente}} \] Il s’agit de la limite de Betz : il n’est pas possible de récupérer plus de \(16/27 \simeq 0,6\) de la puissance cinétique incidente. Le rendement d’une éolienne ne peut donc théoriquement dépasser 60 %.

Pour plus de détails sur la physique des éoliennes, on pourra consulter Nifenecker (2014).